KonsepJarak Titik ke Titik Untuk memahami konsep jarak antara dua titik, mari kita perhatikan dua masalah berikut. Masalah 1 Bangun berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota. Gambar 3. Gambar Kota dan jalan yang menghubungkannyaBerandaTentukan jarak antara dua titik dari pasangan titi...PertanyaanTentukan jarak antara dua titik dari pasangan titik berikut. − 19 , − 16 , − 2 , 14 Tentukan jarak antara dua titik dari pasangan titik berikut. Jawabanjarak kedua titik tersebut adalah 34,48 kedua titik tersebut adalah 34,48 jarak kedua titik tersebut adalah 34,48 satuan. Jadi, jarak kedua titik tersebut adalah 34,48 satuan. Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!549Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia Penyelesaiannya a.) titik H ke titik A adalah poanjang garis AH. Garis AH adalah panjang diagonal sisi pada kubus tersebut maka kita dapat menggunakan teorema phytagoras berikut ini: AH =√ (EH2 + AE 2) AH =√ (6 2 + 6 2) AH =√ (36 + 36) AH =√72. AH =6√2. b.) jarak titik H ke titik X adalah panjang garis HX. Aljabar Contoh Soal-soal Populer Aljabar Tentukan Jarak Antara Dua Titik -2,4 and 4,-6 dan Step 1Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik 2Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus untuk lebih banyak langkah...Kalikan dengan .Tambahkan dan .Naikkan menjadi pangkat .Kurangi dengan .Naikkan menjadi pangkat .Tambahkan dan .Tulis kembali sebagai .Ketuk untuk lebih banyak langkah...Faktorkan dari .Tulis kembali sebagai .Mengeluarkan suku-suku dari bawah 4Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa EksakBentuk DesimalStep 5
Usahajika dituliskan dalam bentuk persamaan seperti berikut. w = F x s. Keterangan: W = usaha (joule) F = gaya (N) s = jarak perpindahan benda (m)
Menghitung Jarak Antara Dua Titik - Jarak antara dua titik dapat ditentukan jika kita mengetahui koordinat kedua titik tersebut pada bidang XY. Jika Px1, y1 dan Qx2, y2 adalah dua titik pada suatu bidang, maka jarak antara P dan Q dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak, seperti berikut ini \begin{array}{l}PQ = \sqrt{x_{2}- x_{1}^{2}+ y_{2}- y_{1}^{2}}\end{array} Perbedaan antara koordinat sumbu x memberikan jarak horizontal dan perbedaan antara koordinat sumbu y memberikan jarak menggunakan rumus ini, kita dapat menemukan jarak antara dua titik dalam geometri dan juga dalam kehidupan nyata. Misalnya, mencari jarak antara dua kota, atau dua titik di bumi, pada peta. Sebelum mempelajari cara mencari jarak antara dua titik dalam geometri koordinat, mari kita pahami apa saja koordinat titik tertentu dan cara itu Koordinat suatu titik?Dalam geometri Euclidean, kami menemukan titik-titik yang diposisikan di bidang. Titik-titik ini ditentukan oleh koordinatnya di sepanjang sumbu x dan sumbu y. Oleh karena itu, koordinat suatu titik adalah sepasang nilai yang secara tepat menentukan lokasi titik tersebut dalam bidang gambar di atas, koordinat titik P pada bidang dua dimensi adalah x,y. Artinya titik P berjarak x satuan dari sumbu y dan satuan y dari sumbu suatu titik pada sumbu x berbentuk a, 0, dengan a adalah jarak titik dari titik asal, dan pada sumbu y berbentuk 0, a, dengan a adalah jarak titik dari titik Antara Dua Titik – Menggunakan Teorema PythagorasPertimbangkan situasi anak berjalan ke arah utara sejauh 30 meter dan berbelok ke timur dan berjalan sejauh 40 meter lagi. Bagaimana kita menghitung jarak terpendek antara tempat awal dan tempat akhir?Representasi gambar dari situasi di atas adalahTitik awal adalah A dan titik akhir adalah C. Jarak antara titik A, B adalah 30 m dan antara titik B, C adalah 40 terpendek antara titik A dan C adalah AC. Jarak ini dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras sebagai berikut.$AC^2 = AB^2 + BC^2$\begin{array}{l}AC= \sqrt{30^2~+~40^2}\end{array}= 50 mOleh karena itu, kami mendapatkan jarak antara titik awal dan titik akhir. Dengan cara yang sama, jarak antara dua titik pada bidang koordinat juga dihitung menggunakan teorema Pythagoras atau teorema segitiga menurunkan rumus jarak antara dua titik pada bidang koordinat, mari kita pahami apa itu titik koordinat dan bagaimana menempatkannya pada bidang Jarak untuk Dua TitikJarak antara dua titik x1, y1 dan x2, y2 dapat diturunkan menggunakan teorema Pythagoras seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah iniBagaimana Cara Memperoleh Rumus Jarak Antara Dua Titik?Seperti yang telah kita pelajari rumus jarak untuk dua titik pada bidang diberikan oleh\begin{array}{l}PQ = \sqrt{x_{2}- x_{1}^{2}+ y_{2}- y_{1}^{2}}\end{array} Dimana P dan Q adalah dua titik yang terpisahMari kita lihat, bagaimana formula ini kita memiliki dua titik Px1, y1 dan Qx2, y2 pada bidang koordinat. Mari kita wakili titik-titik ini dalam bahwa kita telah mengambil titik P dan Q di kuadran pertama itu sendiri. Bagaimana jika titik-titik tersebut berada di kuadran lain? Seperti yang akan Anda amati dalam diskusi berikut, rumus terakhir tetap sama, terlepas dari kuadran dimana P dan Q QT tegak lurus sumbu x dan PR sejajar sumbu antara titik P dan Q dihitung sebagai berikutS dan T adalah titik-titik pada sumbu x yang masing-masing merupakan titik akhir dari dua segmen garis sejajar PS dan QT.⇒ PR = STKoordinat S dan T berturut-turut adalah x1, 0 dan x2, 0.OS = x1 dan OT = x2ST = PL – OS = x2 – x1 = PRDemikian pula,PS = RTQR = QT – RT = QT – PS = y2 – y1Dengan teorema Pythagoras,PQ2 = PR2 + QR2PQ = √[x2– x12+ y2– y12]Karena itu,Jarak antara dua titik x1,y1 dan x2,y2 diberikan oleh\begin{array}{l}PQ = \sqrt{x_{2}- x_{1}^{2}+ y_{2}- y_{1}^{2}}\end{array}Rumus Ini dikenal sebagai rumus bahwa x2–x12 adalah kuadrat dari selisih x – koordinat P dan Q dan selalu positif. Hal yang sama juga dapat dikatakan tentang $y2– y1^2$. Gunakan titik ini dan coba lihat sendiri mengapa rumusnya tetap sama untuk setiap koordinat P dan Q, di kuadran antara sebuah titik dari titik asalBerapakah jarak dari titik asal ke titik pada bidang? Misalkan sebuah titik Px,y pada bidang xy seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah iniMari kita hitung jarak antara titik P dan titik asal. P adalah x satuan jauhnya dari sumbu y dan satuan y jauhnya dari sumbu teorema Pythagoras,$OP^2= x^2 + y^2$ \begin{array}{l}OP= \sqrt{x^2~+~y^2} \end{array}Oleh karena itu jarak antara setiap titik x, y pada bidang xy dan titik asal 0, 0 adalah \begin{array}{l}\sqrt{x^2~+~y^2} \end{array}Contoh SoalContoh 1 Tentukan nilai a jika jarak antara titik P3, -6 dan Q-3, a adalah 10 poin yang diberikan menjadiP3, -6 = x1, y1P-3, a = x2, y2Menggunakan rumus jarak,Jarak antara titik P3, -6 dan Q-3, a adalah[-3 – 32 + a + 62] = 10 satuan diberikanMengkuadratkan kedua sisi persamaan,-62 + a + 62 = 100a + 62 = 100 – 36 = 64Berakar di kedua sisi, kita dapatkan;a + 6 = ±8Kasus I Mempertimbangkan +8,a + 6 = 8 ,a = 8 – 6 = 2Kasus II Mempertimbangkan -8a + 6 = -8a = -8 – 6a = -14Oleh karena itu, koordinatnya adalah P3, -6 dan Q-3, 2 atau P3, -6 dan Q-3, -14.Contoh 2 Tentukan relasi antara x dan y sehingga titik x, y berjarak sama dari titik 7, 1 dan 3, 5.PenyelesaianMisalkan Px, y adalah titik yang berjarak sama dari titik A7, 1 dan B3, 5.Diberikan,AP = BP⇒ AP2 = BP2x – 72 + y – 12 = x – 32 + y – 52 dengan rumus jarakx2 – 14x + 49 + y2 – 2y + 1 = x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25-14x + 50 – 2y + 6x + 10y – 34 = 0-8x + 8y = -16x – y = 2Ini adalah hubungan yang diperlukan antara x dan 3 Temukan titik pada sumbu y yang berjarak sama dari titik A6, 5 dan B– 4, 3.Penyelesaian Kita tahu bahwa sebuah titik pada sumbu y berbentuk 0, y. Jadi, misalkan titik P0, y berjarak sama dari A dan B. MakaAP = BP⇒ AP2 = BP26 – 02 + 5 – y2 = – 4 – 02 + 3 – y236 + 25 + y2– 10y = 16 + 9 + y2 – 6y61 – 10 tahun = 25 – 6 tahun⇒ 10y – 6y = 61 – 25⇒ 4y = 36⇒ y = 9Jadi, titik yang diperlukan adalah 0, 9.VerifikasiAP = √[6 – 02 + 5 – 92]= √36+16= √52BP = √[-4-02+3-92]=√16+36=√52Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa titik 0, 9 berjarak sama dari dua titik yang diberikan.
Sebuahbatu yang beratnya 500 N dipindahkan menggunakan sebuah tuas dengan gaya sebesar 200 N. Bila lengan kuasa 50 cm, hitunglah: a. jarak antara beban ke titik tumpu tuas. b. keuntungan mekanis yang diperoleh . Penyelesaian: w = 500 N. F = 200 N. L k = 50 cm . a. jarak antara beban ke titik tumpu tuas merupakan lengan beban, maka: F x L k = w Salah satu submateri dari bab Hubungan Antargaris adalah mengenai sistem koordinat geometri bidang dimensi dua atau juga disebut sistem koordinat Kartesius dua dimensi dengan dua sumbunya, yaitu sumbu $X$ dan sumbu $Y$. Ada 2 hal yang dipelajari di submateri tersebut, yaitu titik tengah dari segmen ruas garis dan jarak antara dua titik pada sistem koordinat. Titik Tengah Ruas Garis Titik tengah dari titik $Ax_1, y_1$ dan $Bx_2, y_2$ adalah $\left\dfrac{x_1+y_1}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right.$ Jarak Antara Dua Titik Jarak antara dua titik $Ax_1, y_1$ dan $Bx_2, y_2$ atau panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut ditentukan berdasarkan Dalil Pythagoras, yaitu $$AB = \sqrt{x_2-x_1^2+y_2-y_1^2}$$ Berikut ini disajikan soal dan pembahasan terkait sistem koordinat geometri bidang titik tengah ruas garis dan jarak dua titik. Today Quote Tiga tambah lima sama dengan delapan. Sama juga hasilnya kalau enam ditambah dua. Caramu melakukan sesuatu bukanlah satu-satunya cara. Hargailah cara pandang orang lain. Kamu mungkin benar, tetapi mereka belum tentu salah. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Persamaan garis yang melalui $3, 2$ dan $0, 2$ akan $\cdots \cdot$ sejajar sumbu $Y$, berjarak $3$ satuan dari sumbu $Y$ sejajar sumbu $X$, berjarak $2$ satuan dari sumbu $X$ sejajar sumbu $X$, berjarak $3$ satuan dari sumbu $X$ sejajar sumbu $Y$, berjarak $2$ satuan dari sumbu $Y$ tegak lurus sumbu $X$, berjarak $2$ satuan dari sumbu $X$ Pembahasan Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu $X$ atau tegak lurus dengan sumbu $Y$, dan berjarak $2$ satuan dari sumbu $X$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Persamaan garis yang melalui $4, 5$ dan $4, 0$ akan $\cdots \cdot$ sejajar sumbu $Y$, berjarak $4$ satuan dari sumbu $Y$ sejajar sumbu $X$, berjarak $4$ satuan dari sumbu $X$ tegak lurus sumbu $X$, berjarak $4$ satuan dari sumbu $X$ tegak lurus sumbu $Y$, berjarak $5$ satuan dari sumbu $Y$ sejajar sumbu $Y$, berjarak $5$ satuan dari sumbu $Y$ Pembahasan Perhatikan sketsa kedua titik tersebut pada bidang koordinat. Bila ditarik garis yang menghubungkan kedua titik itu, maka kita peroleh garis yang sejajar dengan sumbu $Y$ atau tegak lurus dengan sumbu $X$, dan berjarak $4$ satuan dari sumbu $Y$. Jawaban A [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Konsep Garis dan Sudut Tingkat SMP/Sederajat Soal Nomor 3 Persamaan garis $y = 10$ akan $\cdots \cdot$ A. sejajar dengan sumbu $Y$ B. tegak lurus dengan sumbu $X$ C. melalui $0, 0$ D. berjarak $10$ satuan dengan sumbu $Y$ E. tegak lurus dengan sumbu $Y$ Pembahasan Perhatikan sketsa garis $y = 10$ pada bidang koordinat bahwa garis mendatar tersebut sejajar dengan sumbu $X$, namun tegak lurus dengan sumbu $Y$. Jaraknya terhadap sumbu $X$ adalah $10$ satuan. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 4 Persamaan garis $x=-5$ akan $\cdots \cdot$ sejajar sumbu $X$ melalui $0,0$ sejajar sumbu $Y$, tegak lurus sumbu $X$, dan berjarak $5$ satuan terhadap sumbu $Y$ sejajar sumbu $Y$ dan berjarak $-5$ satuan terhadap sumbu $Y$ sejajar sumbu $Y$, tegak lurus sumbu $X$, dan melalui $0, 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa garis $x = -5$ pada bidang koordinat bahwa garis tegak tersebut sejajar dengan sumbu $Y$, namun tegak lurus dengan sumbu $X$. Jaraknya terhadap sumbu $Y$ adalah $5$ satuan. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Koordinat titik tengah antara titik $3, 4$ dan titik $5, 2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1, 1$ D. $4, 3$ B. $1, 2$ E. $4, 4$ C. $3, 4$ Pembahasan Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $x, y$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{4+2}{2}\right \\ & = 4, 3 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $3, 4$ dan titik $5, 2$ adalah $\boxed{4, 3}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Koordinat titik tengah dari titik $-2, 1$ ke titik $4, 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1, 1$ D. $-3, 2$ B. $2, 1$ E. $1, 2$ C. $3, 2$ Pembahasan Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $x, y$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right \\ & = 1,2 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah dari titik $-2, 1$ ke titik $4, 3$ adalah $\boxed{1,2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 7 Koordinat titik tengah yang menghubungkan titik $4, -5$ dan titik $-1, 0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\left-\dfrac32, -\dfrac52\right$ D. $\left\dfrac52, -\dfrac32\right$ B. $\left-\dfrac32, \dfrac52\right$ E. $\left-\dfrac52, -\dfrac32\right$ C. $\left\dfrac32, -\dfrac52\right$ Pembahasan Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $x, y$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{4+-1}{2}, \dfrac{-5+0}{2}\right \\ & = \left\dfrac32, -\dfrac52\right \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah yang menghubungkan titik $4, -5$ dan titik $-1, 0$ adalah $\boxed{\left\dfrac32, -\dfrac52\right}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Koordinat titik tengah antara titik $-a, b$ dan $a, -b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2a, 2b$ D. $-a, b$ B. $0, 0$ E. $-2a, -2b$ C. $a, b$ Pembahasan Misalkan koordinat titik tengah kedua titik itu adalah $x, y$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{-a + a}{2}, \dfrac{b + -b}{2}\right \\ & = 0, 0 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik tengah antara titik $-a, b$ dan $a, -b$ adalah $\boxed{0,0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Jarak antara titik $-3, -3$ dan $-7, 3$ sama dengan $\cdots$ satuan. A. $26$ D. $\sqrt{13}$ B. $13$ E. $2\sqrt3$ C. $2\sqrt{13}$ Pembahasan Misalkan $A-3, -3$ dan $B-7, 3$. Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{-7-3^2 + 3 -3^2} \\ & = \sqrt{-4^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, jarak kedua titik tersebut adalah $\boxed{2\sqrt{13}~\text{satuan}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 10 Panjang garis yang menghubungkan titik $-3, 2$ ke titik $1, -1$ adalah $\cdots$ satuan. A. $25$ C. $10$ E. $\sqrt5$ B. $15$ D. $5$ Pembahasan Misalkan $A-3, 2$ dan $B1, -1$. Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{-3-1^2 + 2-1^2} \\ & = \sqrt{-4^2 + 3^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut adalah $\boxed{5~\text{satuan}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Jarak titik $a, b$ dan $b, a$ adalah $\cdots$ satuan. A. $\sqrt{b-a^2 + a-b^2}$ B. $\sqrt{a+b^2 + a-b^2}$ C. $\sqrt{b-a^2+a+b^2}$ D. $2\sqrt{b-a}$ E. $2\sqrt{a-b}$ Pembahasan Misalkan $Aa, b$ dan $Bb, a$. Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{a-b^2 + b-a^2} \\ & = \sqrt{b-a^2 + a-b^2} \end{aligned}$$Jadi, jarak titik $a, b$ dan $b, a$ adalah $\boxed{\sqrt{b-a^2 + a-b^2}~\text{satuan}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 12 Panjang garis yang menghubungkan titik $a+2, 3a-1$ dan titik $3a+4, a-5$ adalah $\cdots$ satuan. A. $2\sqrt{2a^2+5a+6}$ B. $2\sqrt{2a^2+6a+5}$ C. $2\sqrt{2a^2-6a+5}$ D. $2\sqrt{2a^2+6a-5}$ E. $2\sqrt{2a^2+5a-6}$ Pembahasan Misalkan $Aa+2, 3a-1$ dan $B3a+4, a-5$. Berdasarkan Dalil Pythagoras, diperoleh $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{a+2-3a+4^2 + 3a-1-a-5^2} \\ & = \sqrt{-2a-2^2 + 2a + 4^2} \\ & = \sqrt{4a^2 + 8a + 4 + 4a^2 + 16a + 16} \\ & = \sqrt{8a^2 + 24a + 20} \\ & = \sqrt{42a^2 + 6a + 5} \\ & = 2\sqrt{2a^2+6a+5} \end{aligned}$$Jadi, panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah $\boxed{2\sqrt{2a^2+6a+5}~\text{satuan}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Jika $C5,7$ merupakan titik tengah dari garis yang menghubungkan titik $A3, 4$ ke titik $B$, maka koordinat titik $B$ adalah $\cdots \cdot$ A. $10, 7$ D. $8, 10$ B. $8, 8$ E. $10, 10$ C. $7, 10$ Pembahasan Misalkan koordinat titik $B$ adalah $x, y$, sehingga $$5, 7 = \left\dfrac{3 + x}{2}, \dfrac{4 + y}{2}\right$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{3+x}{2} & = 5 \Leftrightarrow 3+x = 10 \Leftrightarrow x = 7 \\ \dfrac{4+y}{2} & = 7 \Leftrightarrow 4+y = 14 \Leftrightarrow y = 10 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik $B$ adalah $\boxed{7, 10}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 $A-2, 1$ dan $B6, 5$ merupakan titik-titik ujung diameter sebuah lingkaran. Pusat lingkaran itu adalah $\cdots \cdot$ A. $4, 3$ D. $2, 3$ B. $4, 2$ E. $2, 2$ C. $2, 4$ Pembahasan Karena garis yang menghubungkan kedua titik itu adalah diameter lingkaran, maka titik tengahnya adalah titik pusat lingkaran. Kita peroleh $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{-2 + 6}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right \\ & = \left\dfrac42, \dfrac62\right \\ & = 2, 3 \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 15 Jika titik-titik $1, -2$, $6, -1$, $9, 3$, dan $4, 2$ merupakan pojok sebuah jajar genjang, maka koordinat titik potong antara diagonalnya adalah $\cdots \cdot$ A. $\left\dfrac32, -\dfrac32\right$ D. $\left5, \dfrac12\right$ B. $\left\dfrac32, \dfrac12\right$ E. $\left\dfrac12, \dfrac12\right$ C. $\left10, \dfrac12\right$ Pembahasan Posisikan keempat titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian tarik garis sehingga terbentuk segi empat berupa jajar genjang seperti yang tampak pada gambar mencari koordinat titik potong antara diagonalnya, maka kita hanya perlu mencari titik tengah dari ruas garis yang menjadi diagonal jajar genjang tersebut. Misalnya, kita mencari koordinat titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan $1, -2$ dan $9, 3$, yaitu titik $Tx, y$. $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{-2 + 3}{2}\right \\ & = \left5, \dfrac12\right \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik potong antara diagonalnya adalah adalah $\boxed{\left5, \dfrac12\right}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah koordinat titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan titik berikut. a. $0, 3$ dan $4, -3$ b. $-3, -1$ dan $-2, 5$ c. $\left1\dfrac12, 2\right$ dan $3, 6$ d. $3, -9$ dan $5, -3$ e. $a, b$ dan $c, d$ f. $2a, b$ dan $4a^2, 4b$ g. $a+1, 2a+3$ dan $a-1,2a-1$ h. $2n^2, n$ dan $4n, 3n$ Pembahasan Misalkan $x, y$ adalah koordinat titik tengah dari dua titik pada setiap bagian soal. Jawaban a Titik tengah dari $0, 3$ dan $4, -3$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{0+4}{2}, \dfrac{3+-3}{2}\right \\ & = 2, 0 \end{aligned}$$Jawaban b Titik tengah dari $-3, -1$ dan $-2, 5$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{-3 + -2}{2}, \dfrac{-1+5}{2}\right \\ & = \left-\dfrac52, 2\right \end{aligned}$$Jawaban c Titik tengah dari $\left1\dfrac12, 2\right$ dan $3, 6$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{1\frac12 + 3}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right \\ & = \left\dfrac94, 4\right \end{aligned}$$Jawaban d Titik tengah dari $3, -9$ dan $5, -3$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{3+5}{2}, \dfrac{-9+-3}{2}\right \\ & = 4, -6 \end{aligned}$$Jawaban e Titik tengah dari $a, b$ dan $c, d$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right \end{aligned}$$Jawaban f Titik tengah dari $2a, b$ dan $4a^2, 4b$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{2a + 4a^2}{2}, \dfrac{b+4b}{2}\right \\ & = \lefta + 2a^2, \dfrac52b\right \end{aligned}$$Jawaban g Titik tengah dari $a+1, 2a+3$ dan $a-1,2a-1$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{a+1+a-1}{2}, \dfrac{2a+3+2a-1}{2}\right \\ & = \left\dfrac{2a}{2}, \dfrac{4a+2}{2}\right \\ & = a, 2a+1 \end{aligned}$$Jawaban h Titik tengah dari $2n^2, n$ dan $4n, 3n$ adalah $$\begin{aligned} x, y & = \left\dfrac{2n^2+4n}{2}, \dfrac{n+3n}{2}\right \\ & = n^2+2n, 2n \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Hitunglah jarak antara pasangan titik di bawah ini. Nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana. $1, 2$ dan $6, 5$ $2, 6$ dan $14, 3$ $-5, 1$ dan $\left-3\dfrac12, 3\right$ $2, -1$ dan $8, 7$ $a, b$ dan $2a, 2b$ $a, b$ dan $2a, -b$ $a+3, b-5$ dan $a+3, b+7$ $n+2m, 2n+13m$ dan $5n-2m, -2n-7m$ Pembahasan Misalkan jarak kedua titik pada setiap bagian soal dinotasikan dengan $x$. Jawaban a Jarak titik $1, 2$ dan $6, 5$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{1-6^2 + 2-5^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \end{aligned}$$Jawaban b Jarak titik $2, 6$ dan $14, 3$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{2-14^2 + 6-3^2} \\ & = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17} \end{aligned}$$Jawaban c Jarak titik $-5, 1$ dan $\left-3\dfrac12, 3\right$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{\left-5-\left-3\dfrac12\right\right^2 + 1-3^2} \\ & = \sqrt{\left-\dfrac32\right^2 + -2^2} \\ & = \sqrt{\dfrac94 + 4} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52 \end{aligned}$$Jawaban d Jarak titik $2, -1$ dan $8, 7$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{2-8^2 + -1-7^2} \\ & = \sqrt{36 + 64} \\ & = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}$$Jawaban e Jarak titik $a, b$ dan $2a, 2b$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{a-2a^2 + b-2b^2} \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}$$Jawaban f Jarak titik $a, b$ dan $2a, -b$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{a-2a^2 + b-b^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4b^2} \end{aligned}$$Jawaban g Jarak titik $a+3, b-5$ dan $a+3, b+7$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{a+3-a+3^2 + b-5-b+7^2} \\ & = \sqrt{0 + 144} = 12 \end{aligned}$$Jawaban h Jarak titik $n+2m, 2n+13m$ dan $5n-2m, -2n-7m$ adalah $$\begin{aligned} x & = \sqrt{n+2m-5n-2m^2 + 2n+13m-2n-7m^2} \\ & = \sqrt{-4n+4m^2 + 4n + 20m^2} \\ & = \sqrt{16-n + m^2 + 16n + 5m^2} \\ & = 4\sqrt{-n+m^2 + n+5m^2} \\ & = 4\sqrt{n^2-2nm+m^2 + n^2+10nm + 25m^2} \\ & = 4\sqrt{2n^2 + 8mn + 26m^2} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 3 Tunjukkan bahwa titik-titik $A2,1$, $B5, 3$, $C3, 0$, dan $D-1, -2$ membentuk sebuah jajar genjang. Pembahasan Cara 1 Menggunakan Konsep Jarak Akan dicari panjang $4$ sisi yang terbentuk dari keempat titik tersebut. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{5-1^2 + 3-1^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ DC & = \sqrt{3-1^2 + 0-2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \\ CB & = \sqrt{5-3^2 + 3-0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \\ DA & = \sqrt{1-1^2 + 1-2^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \end{aligned}$$Karena $AB = DC$ dan $CB = DA$, maka $ABCD$ membentuk jajar genjang. Cara 2 Menggunakan Konsep Titik Tengah Kita mencari titik tengah dari diagonal $AC$ dan $BD$. Bila koordinatnya sama, maka $ABCD$ jajar genjang. $$\begin{aligned} \text{TT.} AC & = \left\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{1+0}{2}\right = \left2, \dfrac12\right \\ \text{TT.} BD & = \left\dfrac{5 + -1}{2}, \dfrac{3 + -2}{2}\right = \left2, \dfrac12\right \end{aligned}$$Jadi, $ABCD$ terbukti jajar genjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui titik-titik pojok segi empat $T3, 2$, $U2, 5$, $V8, 7$, dan $W6,1$. Titik tengah dari $UV$ dan $VW$ adalah $O$ dan $S$. Tunjukkan bahwa bangun $TOS$ merupakan segitiga sama kaki. Pembahasan Diketahui $$\begin{array}{cc} \hline T3, 2 & U2,5 \\ V8,7 & W6,1 \\ \hline \end{array}$$Langkah pertama adalah mencari koordinat titik $O$ sebagai titik tengah $UV$ dan $S$ sebagai titik tengah $VW$. $$\begin{aligned} \text{Koord.}~O & = \left\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{5+7}{2}\right = 5, 6 \\ \text{Koord.}~S & = \left\dfrac{8+6}{2}, \dfrac{7+1}{2}\right = 7, 4 \end{aligned}$$Apabila titik $T3, 2$, $O5,6$, dan $S7, 4$ dihubungkan menggunakan garis lurus, maka akan terbentuk segitiga. Langkah selanjutnya adalah menunjukkan bahwa $\triangle TOS$ sama kaki, artinya menunjukkan bahwa terdapat $2$ sisi yang sama panjang. Akan dicari panjang $TO$, $TS$, dan $OS$. $$\begin{aligned} TO & = \sqrt{3-5^2 + 2-6^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt5 \\ TS & = \sqrt{3-7^2 + 2-4^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt5 \\ OS & = \sqrt{5-7^2 + 6-4^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Karena ada $2$ sisi yang sama panjang, yaitu $TO = TS = 2\sqrt5$, maka terbukti bahwa $\triangle TOS$ sama kaki. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 5 Diberikan titik-titik $B4,8$, $A8,4$, dan $N2,0$. Hitunglah setiap panjang garis berat $\triangle BAN$. Pembahasan Garis berat adalah garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga ke titik tengah sisi segitiga di depannya sehingga membelah dua sama panjang. Oleh karena itu, kita perlu mencari koordinat titik tengah dari setiap sisi segitiga, kemudian mencari panjang $3$ garis berat yang dapat dibentuk. Diketahui $B4,8$, $A8,4$, dan $N2,0$. Misalkan $X, Y, Z$ berturut-turut sebagai titik tengah sisi $AB$, $AN$, dan $BN$, seperti tampak pada sketsa grafik koordinat berikut. $$\begin{aligned} \text{Koord.}~X & = \left\dfrac{8+4}{2}, \dfrac{4+8}{2}\right = 6, 6 \\ \text{Koord.}~Y & = \left\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{4+0}{2}\right = 5, 2 \\ \text{Koord.}~Z & = \left\dfrac{4+2}{2}, \dfrac{8+0}{2}\right = 3, 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dicari panjang garis berat $XN$, $YB$, dan $ZA$. $$\begin{aligned} XN & = \sqrt{6-2^2 + 6-0^2} = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13} \\ YB & = \sqrt{5-4^2 + 2-8^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37} \\ ZA & = \sqrt{3-8^2+4-4^2} = \sqrt{25 + 0} = 5 \end{aligned}$$Jadi, panjang garis berat $\triangle BAN$ adalah $$\boxed{2\sqrt{13}, \sqrt{37},~\text{dan}~5}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan empat titik pojok sebuah belah ketupat $ABCD$, yaitu $A1,2$, $B2,-5$, $C7,0$, dan $Dx, y$. Hitunglah a. nilai $x$ dan $y$; b. luas belah ketupat $ABCD$. Pembahasan Diketahui koordinat $A1,2$, $B2,-5$, dan $C7,0$. Jawaban a Belah ketupat memiliki $2$ diagonal yang berpotongan tegak lurus di tengah-tengahnya. Ini berarti, titik tengah dari diagonal $AC$ sama dengan titik tengah dari diagonal $BD$. Kita tuliskan $$\begin{aligned} \text{TT.}~AC & = \text{TT.}~BD \\ \left\dfrac{1+7}{2}, \dfrac{2+0}{2}\right & = \left\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right \\ 4, 1 & = \left\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{-5+y}{2}\right \end{aligned}$$Kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{2+x}{2} = 4 & \Rightarrow x = 6 \\ \dfrac{-5+y}{2} = 1 & \Rightarrow y = 7 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 6, y = 7}$ Jawaban b Untuk mencari luas belah ketupat $ABCD$, terlebih dahulu harus dicari panjang kedua diagonalnya. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{7-1^2 + 0-2^2} \\ & = \sqrt{36 + 4} \\ & = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\ BD & = \sqrt{6-2^2 + 7-5^2} \\ & = \sqrt{16 + 144} \\ & = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas belah ketupat $ABCD$ dinyatakan oleh $$\boxed{L_{ABCD}= \dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{2\sqrt{10} \times 4\sqrt{10}}{2} = 40}$$ [collapse] Soal Nomor 7 Tiga titik memiliki koordinat $O0,0$, $A5,0$, dan $B7,6$. Titik $N$ terletak pada koordinat $x, y$ sedemikian sehingga $AN = BN$ dan luas $\triangle AON$ adalah $10$ satuan luas. Hitunglah nilai $x$ dan $y$ dengan $y$ adalah bilangan positif. Pembahasan Karena luas segitiga $AON$ sebesar $10$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan $$\begin{aligned} L_{\triangle AON} & = \dfrac{OA \times y}{2} \\ 10 & = \dfrac{5 \times y}{2} \\ 20 & = 5y \\ y & = 4 \end{aligned}$$Perhatikan sketsa grafik koordinat karena $AN = BN$, maka diperoleh $$\begin{aligned} \sqrt{5-x^2 + 0-y^2} & = \sqrt{7-x^2 + 6-y^2} \\ \text{Substitusi}~&y = 4 \\ \sqrt{25-10x+x^2 + 0-4^2} & = \sqrt{49-14x+x^2 + 6-4^2} \\ \sqrt{x^2-10x+41} & = \sqrt{x^2-14x+53} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ x^2-10x+41 & = x^2-14x+53 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = 3}$ dan $\boxed{y=4}$ [collapse] Soal Nomor 8 Koordinat titik sudut segi empat $SIAP$ adalah $S3,-2$, $I0,-3$, $A-2,3$, dan $P4, 1$. a. Carilah panjang setiap sisi segi empat itu. b. Apa jenis segi empat $SIAP$? Pembahasan Diketahui $S3,-2$, $I0,-3$, $A-2,3$, dan $P4, 1$. Posisikan keempat titik ini pada bidang koordinat seperti a Akan dicari panjang ruas garis $SI$, $IA$, $AP$, dan $PS$. $$\begin{aligned} SI & = \sqrt{3-0^2 + -2-3^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \\ IA & = \sqrt{-2-0^2 + 3-3^2} = \sqrt{4 +36} = 2\sqrt{10} \\ AP & = \sqrt{-2-4^2 + 3-1^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \\ PS & = \sqrt{4-3^2 + 1-2^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{aligned}$$Jawaban b Kita peroleh bahwa ada dua pasang sisi yang sama panjang, yaitu $SI = PS$ dan $IA = AP$. Sekarang, periksa apakah kedua diagonal $SA$ dan $IP$ berpotongan tegak lurus dengan menggunakan konsep gradien. $$\begin{aligned} m_{SA} & = \dfrac{3-2}{-2-3} = \dfrac{5}{-5} = -1 \\ m_{IP} & = \dfrac{1-3}{4-0} = \dfrac44=1 \end{aligned}$$Karena berlaku hubungan $m_{SA} \times m_{IP} = -1$, maka kedua diagonal berpotongan tegak lurus. Ini berarti, segi empat tersebut adalah layang-layang. [collapse]contohsoal jarak titik ke bidang Foto: Screenshoot. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut, -Dari titik T, tarik garis m yang tegak lurus terhadap bidang α. Ingat garis m α apabila garis m sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis, yang berpotongan pada bidang α. -Tentukan titik tembus garis m terhadap bidang α.
Hitunglahjarak antara dua titik berikut. c. DR D. Rajib Master Teacher Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang Jawaban terverifikasi Jawaban jarak dua titik tersebut adalah . Pembahasan Diketahui Ingat rumus jarak berikut. Diperoleh: Dengan demikian, jarak dua titik tersebut adalah . Mau dijawab kurang dari 3 menit? Coba roboguru plus! 16
. hitunglah jarak antara dua titik berikut
